DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA

 4.1 Diferenciación numérica

Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una
función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia
para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para
obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores
de la función.

Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación
numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación
aun cuando la información original está bien aproximada, por lo
que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente
cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación, se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

4.2Integración numérica

La integración numérica es una técnica que se puede usar para aproximar el valor de la integral de una función que no sea posible anti diferenciar (integrar).Con el objeto de integrar numéricamente la integral comprendida en el intervalo cerrado [a, b], lo podemos hacer a través de dos métodos de integración  numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson.

REGLA DE TRAPECIO

Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.

Se aproxima la función dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud y formando entonces trapecios por encima de cada intervalo.

4.3 Integracion multiple

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y una región ${\displaystyle �}$ en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función ${\displaystyle �}$ (si ${\displaystyle �}$ es una región cerrada y acotada y ${\displaystyle �}$ está definida en ésta). Por ejemplo, si ${\displaystyle �=2}$, el volumen situado entre la superficie definida por ${\displaystyle {�}_3=�({�}_1,{�}_2)}$ y una región ${\displaystyle �}$ en el plano ${\displaystyle {�}_1{�}_2}$ es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, ${\displaystyle �}$ está definida en ${\displaystyle �}$.

${\displaystyle �}$ puede dividirse en una partición interior ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ formada por ${\displaystyle �}$ subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en ${\displaystyle �}$. La norma ${\displaystyle ||\mathrm{\Delta }||}$ de esta partición está dada por la diagonal más larga en las ${\displaystyle �}$ subregiones.

Si se toma un punto ${\displaystyle ({�}_{1�},{�}_{2�},...,{�}_{��})}$ que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}...\mathrm{\Delta }{�}_{��}}$ para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

${\displaystyle �({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{�}=�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y la región ${\displaystyle �}$ mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los ${\displaystyle �}$ espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

${\displaystyle \sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

Esta aproximación mejora a medida que el número ${\displaystyle �}$ de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

${\displaystyle \underset{�\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para todo  existe un  tal que

para toda partición ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ de la región ${\displaystyle �}$ (que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles de ${\displaystyle ({�}_{1�},{�}_{2�},...,{�}_{��})}$ en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si ${\displaystyle �}$ está definida en una región cerrada y acotada ${\displaystyle �}$ del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de ${\displaystyle �}$ sobre ${\displaystyle �}$ está dada por:

${\displaystyle \int \cdots {\int }_{�}�({�}_1,\dots ,{�}_{�})�{�}_1\cdots �{�}_{�}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que ${\displaystyle �}$ es integrable con respecto a T.

Es común que

${\displaystyle \int \cdots {\int }_{�}�({�}_1,\dots ,{�}_{�})�{�}_1\cdots �{�}_{�}}$

se denote por

${\displaystyle {\int }_{�}�(\mathbf{�}){�}^{�}\mathbf{�}}$

4.4 Aplicaciones