DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA

 4.1 Diferenciación numérica

Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una
función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia
para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para
obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores
de la función.

Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación
numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación
aun cuando la información original está bien aproximada, por lo
que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente
cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación, se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

4.2Integración numérica

La integración numérica es una técnica que se puede usar para aproximar el valor de la integral de una función que no sea posible anti diferenciar (integrar).Con el objeto de integrar numéricamente la integral comprendida en el intervalo cerrado [a, b], lo podemos hacer a través de dos métodos de integración  numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson.

REGLA DE TRAPECIO

Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.

Se aproxima la función dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud y formando entonces trapecios por encima de cada intervalo.

4.3 Integracion multiple

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y una región ${\displaystyle �}$ en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función ${\displaystyle �}$ (si ${\displaystyle �}$ es una región cerrada y acotada y ${\displaystyle �}$ está definida en ésta). Por ejemplo, si ${\displaystyle �=2}$, el volumen situado entre la superficie definida por ${\displaystyle {�}_3=�({�}_1,{�}_2)}$ y una región ${\displaystyle �}$ en el plano ${\displaystyle {�}_1{�}_2}$ es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, ${\displaystyle �}$ está definida en ${\displaystyle �}$.

${\displaystyle �}$ puede dividirse en una partición interior ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ formada por ${\displaystyle �}$ subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en ${\displaystyle �}$. La norma ${\displaystyle ||\mathrm{\Delta }||}$ de esta partición está dada por la diagonal más larga en las ${\displaystyle �}$ subregiones.

Si se toma un punto ${\displaystyle ({�}_{1�},{�}_{2�},...,{�}_{��})}$ que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}...\mathrm{\Delta }{�}_{��}}$ para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

${\displaystyle �({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{�}=�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle {�}_{�+1}=�({�}_1,...,{�}_{�})}$ y la región ${\displaystyle �}$ mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los ${\displaystyle �}$ espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

${\displaystyle \sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

Esta aproximación mejora a medida que el número ${\displaystyle �}$ de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

${\displaystyle \underset{�\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para todo  existe un  tal que

para toda partición ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ de la región ${\displaystyle �}$ (que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles de ${\displaystyle ({�}_{1�},{�}_{2�},...,{�}_{��})}$ en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si ${\displaystyle �}$ está definida en una región cerrada y acotada ${\displaystyle �}$ del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de ${\displaystyle �}$ sobre ${\displaystyle �}$ está dada por:

${\displaystyle \int \cdots {\int }_{�}�({�}_1,\dots ,{�}_{�})�{�}_1\cdots �{�}_{�}=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0}{lim}\sum _{�=1}^{�}�({�}_{1�},{�}_{2�},\dots ,{�}_{��})\mathrm{\Delta }{�}_{1�}\mathrm{\Delta }{�}_{2�}\dots \mathrm{\Delta }{�}_{��}}$

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que ${\displaystyle �}$ es integrable con respecto a T.

Es común que

${\displaystyle \int \cdots {\int }_{�}�({�}_1,\dots ,{�}_{�})�{�}_1\cdots �{�}_{�}}$

se denote por

${\displaystyle {\int }_{�}�(\mathbf{�}){�}^{�}\mathbf{�}}$

4.4 Aplicaciones

Ángulos Internos de figuras geométricas

 Ángulos Internos de figuras geométricas 

El ángulo esta formados por dos rectas secantes, las cuales coinciden en un punto en común que se conoce como vértice. El resto de los puntos conforman los lados.

Un ángulo interno o interior en geometría, es el ángulo que se forma dentro de un polígono cuando se intersecan dos de sus lados adyacentes.

Los ángulos internos también se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

De esta manera se puede distinguir dos tipos de ángulos internos:

• Ángulos internos dentro de un polígono, ya sea regular o irregular.
• Ángulos internos que se forman dentro del área cerrada de dos rectas paralelas al ser cortadas por una transversal.

Propiedades de los ángulos internos

Las propiedades de los ángulos internos dependen de si pertenecen a un polígono o si se forman cuando una transversal corta a dos rectas paralelas. A continuación, se mencionan sus propiedades.

Propiedades ángulos internos de un polígono

• El número de ángulos internos es igual al número de lados del polígono.
• Los ángulos internos de un polígono regular tienen la misma medida.
• La suma de los ángulos internos de cualquier polígono de “n” lados, se halla mediante la fórmula: Suma de ∠ = (n – 2) * 180°.
• Si se conoce la suma de todos los ángulos interiores de un polígono regular, se puede obtener el ángulo interior con la fórmula:

• En cualquier polígono el ángulo interno es suplementario al ángulo externo del mismo lado. En la figura se tiene que: Φ + τ =180°, α + δ = 180°, β + φ = 180°.
• 

  Propiedades ángulos internos entre paralelas

  Se forman varios tipos de ángulos internos:

  • Los ángulos alternos internos:
    • Los ángulos alternos internos son los ángulos formados en los lados opuestos de la transversal.
    • Los ángulos alternos internos tienen la misma medida.
    • La condición anterior, permite comprobar que dos líneas dada sean paralelas.
  • Los ángulos interiores consecutivos:
    • Los ángulos interiores consecutivos se encuentran en el mismo lado de la transversal y no son adyacentes.
    • Los ángulos interiores consecutivos tienen vértices diferentes y comparten un lado en común.
    • La suma de los ángulos internos consecutivos es de 180°.

  

  En la primera figura los ángulos Φ y α son alternos internos y el ángulo δ es alterno interno con φ.

  La segunda figura los ángulos internos consecutivos son Φ y φ. Y el otro par de internos consecutivos son los ángulos δ y α.