Como hemos dicho anteriormente, en el recorrido en preorden de un árbol binario se visita la raíz, después el hijo izquierdo y finalmente el hijo derecho. Veamos como lo hacemos en este ejemplo.
Primero de todo, colocaremos una marca a la izquierda de cada nodo.
Lo único que tenemos que hacer es rodear el árbol con una línea desde la raíz (nodo 1). A medida que nos vamos encontrando marcas, iremos encontrando el siguiente nodo en preorden.
PREORDEN: 1-2-4-5-3-6
METODOS DE UN PASO
Los métodos de un paso son un conjunto de algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales en un solo paso. Estos incluyen:
1. Método de Euler: este es un método simple que aproxima la solución al usar tangentes para estimar la pendiente de la curva en cada punto. Es fácil de implementar pero no es muy preciso.
2. Método de Runge-Kutta de segundo orden: este es un método más preciso que el Método de Euler. En este método, se utiliza el promedio de dos pendientes para aproximar la solución en cada punto.
3. Método de Runge-Kutta de cuarto orden: este es uno de los métodos más precisos que se pueden usar para resolver ecuaciones diferenciales. Utiliza una serie de cálculos para estimar la solución en cada punto y se utiliza en muchas aplicaciones prácticas.
4. Método de Adams-Bashforth: este es un método de múltiples pasos que usa estimaciones anteriores de la solución para calcular la próxima estimación. Es más preciso que el Método de Euler pero menos preciso que los métodos de Runge-Kutta.
5. Método de Adams-Moulton: este es otro método de múltiples pasos que utiliza la estimación inicial del Método de Euler, pero luego utiliza una fórmula más precisa para calcular la siguiente estimación. Es más preciso que el Método de Adams-Bashforth.
En general, los métodos de un paso son fáciles de implementar y pueden ser precisos si se selecciona el método adecuado para la ecuación diferencial en cuestión.
El polinomio de interpolación de Newton
El polinomio de interpolación de Newton es un tipo de interpolación basado en las diferencias divididas de los datos de la función. Al igual que en otros métodos de interpolación, lo que se busca es encontrar un polinomio que pase por todos los puntos dados de una función.
El procedimiento para encontrar el polinomio de interpolación de Newton consiste en primero calcular las diferencias divididas de la función, que son las razones de cambio entre los valores de la función en los puntos dados. Estas diferencias se utilizan para construir el polinomio de manera recursiva, de tal manera que en cada paso se añade un término más al polinomio.
El polinomio de interpolación de Newton tiene la siguiente forma general:
P_n(x) = f(x_0) + (x - x_0)f[x_0, x_1] + (x - x_0)(x - x_1)f[x_0, x_1, x_2] + ... + (x - x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})f[x_0, x_1, ..., x_n]
donde f[x_0], f[x_0, x_1], f[x_0, x_1, x_2], ..., f[x_0, x_1, ..., x_n] son las diferencias divididas de la función evaluadas en los puntos dados x_0, x_1, ..., x_n. La expresión f[x_0, x_1, ..., x_k] se define como:
f[x_i] = f(x_i)
f[x_i, ..., x_j] = (f[x_{i+1}, ..., x_j] - f[x_i, ..., x_{j-1}]) / (x_j - x_i)
El polinomio de interpolación de Newton es útil para aproximar una función en un rango de valores en el que no se conocen los valores exactos de la función. También se puede utilizar para la realización de predicciones basadas en datos históricos, como en el caso de los modelos de regresión.
Polinomio de interpolación de Lagrange
Un polinomio de interpolación de Lagrange es una forma de encontrar un polinomio que pase por un conjunto de puntos dados. Es un método útil para encontrar una expresión matemática para una función desconocida o para aproximar una curva desconocida.
El polinomio de interpolación de Lagrange se define de la siguiente manera:
Dados n puntos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), el polinomio de interpolación de Lagrange se define como:
P(x) = Σ(yi ∏(x-xj)/(xi - xj)) donde i ≠ j, i=1 a n, j=1 a n.
En esta expresión, yi es el valor de y en el i-ésimo punto, y Π(x-xj)/(xi - xj) es el producto de todos los términos (x-xj)/(xi - xj) excepto cuando i = j.
El polinomio de interpolación de Lagrange pasa por cada uno de los puntos dados y se comporta de manera suave entre ellos. Sin embargo, puede tener problemas cuando n es grande, ya que el cálculo del polinomio requiere mucha computación y puede ser propenso a errores numéricos.
MINIMOS CUADRADOS
Los mínimos cuadrados son una técnica estadística utilizada para encontrar la mejor línea de ajuste que se ajuste a un conjunto de datos. Esta línea de ajuste se utiliza para predecir valores futuros basados en datos históricos.
La teoría de los mínimos cuadrados se basa en minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores predichos por la línea de ajuste. Esta técnica se utiliza en muchas áreas, como la econometría, la estadística, la ingeniería y la física, por nombrar algunas.
Para utilizar los mínimos cuadrados, primero hay que identificar la relación entre las variables que se están analizando. Luego, se calcula la pendiente y la intersección de la línea de ajuste utilizando fórmulas estadísticas. Por último, se evalúa la calidad de la línea de ajuste mediante el cálculo del error cuadrático medio.
Los mínimos cuadrados son una herramienta importante en el análisis de datos y pueden proporcionar información valiosa para la toma de decisiones empresariales y la investigación científica.
En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico-estructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas.
En este documento se presentan algunas aplicaciones de los métodos numéricos a diversos problemas de ingeniería. Se muestra una descripción de algunos de los problemas importantes en el diseńo asistido por computadora utilizando métodos numéricos que actualmente se abordan en ingeniería. Se explican además algunos ejemplos con desarrollos teóricos y computacionales que se realizan en el Centro de Investigación en Matemáticas CIMAT (Guanajuato, México). Este trabajo presenta un panorama general de algunas de las aplicaciones que pueden darse a los métodos numéricos.
4.1 Diferenciación numérica
Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una
función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia
para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para
obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores
de la función.
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación
numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación
aun cuando la información original está bien aproximada, por lo
que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente
cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.
A continuación, se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.
REGLA DE TRAPECIO
Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.
Se aproxima la función dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud y formando entonces trapecios por encima de cada intervalo.
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación y una región en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función (si es una región cerrada y acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen situado entre la superficie definida por y una región en el plano es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está definida en .
puede dividirse en una partición interior formada por subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las subregiones.
Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación y la región mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los espacios correspondientes a cada una de las subregiones:
Esta aproximación mejora a medida que el número de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:
El significado riguroso de este último límite es que el límite es igual L si y solo si para todo existe un tal que
para toda partición de la región (que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles de en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Si está definida en una región cerrada y acotada del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de sobre está dada por:
siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que es integrable con respecto a T.
Es común que
se denote por
(6/7*2+1)-(7-2*3/6+8) Recorrido polaca -+*/6721+-7*2/368 -+*(6/7)21+-7*2(3/6)8 -+((6/7)*2)1+-7(2*(3/6))8 -((6/7)*(2+1)+((7-2)*(3/6))8 ((6/7...
